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Il est souvent difficile de trouver quand un problème mathématique classique a été posé pour la première fois. Quant à la quadrature du cercle, MacTutor le fait remonter à avant la comédie loufoque d’Aristophane Les Oiseaux :

Le premier mathématicien qui a tenté de mettre le cercle au carré est Anaxagore. Plutarque, dans son ouvrage Sur l’exil qui a été écrit au premier siècle de notre ère, dit:

 » Il n’y a pas de place qui puisse ôter le bonheur d’un homme, ni encore sa vertu ou sa sagesse. Anaxagore, en effet, a écrit sur la quadrature du cercle en prison. »

Maintenant, le problème doit être devenu très populaire peu de temps après, non seulement parmi un petit nombre de mathématiciens, mais assez largement, car il y a une référence à ce problème dans une pièce Les Oiseaux écrite par Aristophane vers 414 avant JC. Deux personnages parlent, Meton est l’astronome.

Meton : Je propose de sonder l’air pour vous : il faudra le baliser en acres.

Peisthetaerus: Seigneur, qui te prends-tu?

Meton: Qui suis-je ? Pourquoi Meton. LE Meton. Célèbre dans le monde hellénique – vous devez avoir entendu parler de mon horloge hydraulique à Colonus?

Peisthetaerus (regardant les instruments de Méton) : Et à quoi servent-ils ?

Meton : Ah! Ce sont mes tiges spéciales pour mesurer l’air. Vous voyez, l’air est façonné – comment dois-je le dire? – comme une sorte d’extincteur: donc tout ce que j’ai à faire est de fixer cette tige flexible à l’extrémité supérieure, de prendre les boussoles, d’insérer le point ici, et – vous voyez ce que je veux dire?

Peisthetaerus: Non.

Meton: Eh bien, j’applique maintenant la tige droite – donc – en quadrant ainsi le cercle: et vous voilà. Au centre, vous avez votre place de marché: des rues droites qui y mènent, d’ici, d’ici, d’ici. Le même principe, en réalité, que les rayons d’une étoile: l’étoile elle-même est circulaire, mais envoie des rayons droits dans toutes les directions.

Peisthetaerus: Brillant – l’homme est un Thalès.

Maintenant, à partir de ce moment, l’expression ‘cercle-carré’ est entrée en usage et elle a été appliquée à quelqu’un qui tente l’impossible. En effet, les Grecs ont inventé un mot spécial qui signifiait « s’occuper de la quadrature »’ Pour que les références à la quadrature du cercle entrent dans une pièce populaire et entrent ainsi dans le vocabulaire grec, il devait y avoir beaucoup d’activité entre le travail d’Anaxagore et l’écriture de la pièce. En effet, nous connaissons les travaux d’un certain nombre de mathématiciens sur ce problème pendant cette période: Œnopide, Antienne, Bryson, Hippocrate et Hippias.

Donc, de manière assez conservatrice, nous pouvons dire que la quadrature du cercle était un problème ouvert connu des mathématiciens depuis 414 avant JC. Cela a été prouvé impossible par Lindemann en 1882, lorsqu’il a montré que e xe ^ x est transcendantal pour tout nombre algébrique xx non nul. En prenant x = inx = i \ pi, cela implique que π \pi est transcendantal, et ne peut donc pas être construit en utilisant la règle et la boussole.

Donc, ce problème a pris au moins 1882 + 414 = 2296 ans pour se régler!

Pouvez-vous en trouver un qui a pris plus de temps à résoudre? Il est souvent difficile de trouver quand les problèmes anciens ont été posés pour la première fois. Il y a la trisection de l’angle et le doublement du cube, les deux autres défis classiques de la géométrie grecque. La trisection de l’angle s’est avérée impossible en 1836 ou 1837 par Wantzel. Il faudrait donc qu’il ait été posé au moins avant 460 avant JC pour battre la quadrature du cercle. Je ne sais pas quand les gens ont commencé à s’interroger à ce sujet.

Que diriez-vous de la question de savoir s’il existe une infinité de nombres parfaits? Cela n’a toujours pas été résolu, il suffirait donc de le poser avant 276 avant JC pour battre la quadrature du cercle. Cela semble plausible, car Euclide a prouvé que 2 p-1 (2 p-1) 2 ^{p & #8722;1} (2^p & #8722;1) est un nombre pair parfait chaque fois que 2 p−12^p-1 est premier: c’est Prop. IX.36 dans les Éléments, qui date de 300 avant JC.

Hélas, je ne pense pas que les éléments d’Euclide demandent s’il y a une infinité de nombres parfaits. Mais si Euclide s’interrogeait à ce sujet avant d’écrire les Éléments, la question était peut-être ouverte depuis au moins 2020 + 300 = 2320 ans!

Pouvez-vous m’aider ici?

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